3. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём AB = 5, AC = 45. Найдите АК.

Задание 3. Длина касательной AK

Дано:

• Точка A вне окружности.
• AK — касательная к окружности в точке K.
• Прямая ABC пересекает окружность в точках B и C.
• AB = 5.
• AC = 45.

Найти: AK.

Решение:

1. Используем теорему о касательной и секущей: квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью.
2. Формула: \( AK^2 = AB \cdot AC \).
3. Подставим известные значения: \( AK^2 = 5 \cdot 45 \).
4. \( AK^2 = 225 \).
5. Найдем AK, извлекая квадратный корень: \( AK = \sqrt{225} \).
6. \( AK = 15 \).

Ответ: 15.