3. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

Поворот на 180° вокруг точки O переводит параллелограмм в себя: A переходит в C, B — в D. Прямая, проходящая через O, также переходит в себя.

Поэтому точка P на стороне AB переходит в точку Q на стороне CD. При этом B переходит в D, а поворот сохраняет длины отрезков. Значит, образ отрезка BP — отрезок DQ, и их длины равны.

Следовательно, BP = DQ.