3. Четырехугольник MNFD вписан в окружность. Известно, что \( \angle MDN = 38^{\circ} \), \( \angle MND = 67^{\circ} \) и \( \angle DNF = 42^{\circ} \). Найти углы четырехугольника.

Решение:

Четырехугольник MNFD вписан в окружность, значит, сумма противоположных углов равна 180°.

Сначала найдем углы, опирающиеся на одни и те же дуги.

Дуга ND опирается на вписанные углы \( \angle NMD \) и \( \angle NFD \). Поэтому \( \angle NFD = \angle NMD = 67^{\circ} \).

Дуга MD опирается на вписанные углы \( \angle MND \) и \( \angle MFD \). Поэтому \( \angle MFD = \angle MND = 38^{\circ} \).

Дуга NF опирается на вписанные углы \( \angle NMF \) и \( \angle NDF \). Мы знаем \( \angle DNF = 42^{\circ} \). Это угол, опирающийся на дугу DF. \( \angle DNF \) не является вписанным углом, опирающимся на дугу NF. Скорее всего, \( \angle DNF \) — это часть \( \angle DNE \) или \( \angle FNE \). Будем считать, что \( \angle DNF = 42^{\circ} \) - это вписанный угол, опирающийся на дугу DF.

Если \( \angle DNF = 42^{\circ} \) опирается на дугу DF, то \( \angle DMF = 42^{\circ} \) (как вписанный угол, опирающийся на ту же дугу DF).

Найдем углы четырехугольника:

\( \angle M = \angle NMF + \angle FMD \)

\( \angle N = \angle MND + \angle DNF \)

\( \angle F = \angle MFD + \angle NFD \)

\( \angle D = \angle MDN + \angle NDF \)

Из условия даны: \( \angle MDN = 38^{\circ} \), \( \angle MND = 67^{\circ} \).

Так как \( \angle DNF = 42^{\circ} \) - это угол, то предполагаем, что он является вписанным углом, опирающимся на дугу DF. Тогда \( \angle DMF = 42^{\circ} \).

\( \angle M = \angle NMF + \angle FMD \). Мы не знаем \( \angle NMF \). Мы знаем \( \angle MDN = 38^{\circ} \) и \( \angle MND = 67^{\circ} \). Сумма углов в \( \triangle MDN \) = \( 180^{\circ} \). \( \angle DMN = 180 - 38 - 67 = 75^{\circ} \). Отсюда \( \angle M = \angle DMN + \angle NMF = 75^{\circ} + \angle NMF \).

Противоположные углы четырехугольника в сумме дают 180°.

\( \angle M + \angle F = 180^{\circ} \)

\( \angle N + \angle D = 180^{\circ} \)

\( \angle D = \angle MDN + \angle NDF = 38^{\circ} + \angle NDF \).

\( \angle N = \angle MND + \angle DNF = 67^{\circ} + 42^{\circ} = 109^{\circ} \).

\( \angle D = 180^{\circ} - \angle N = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ} \).

\( \angle D = 38^{\circ} + \angle NDF = 71^{\circ} \) => \( \angle NDF = 71^{\circ} - 38^{\circ} = 33^{\circ} \).

\( \angle F = \angle MFD + \angle NFD \).

\( \angle NFD = \angle NMD \) (опираются на дугу ND). Мы не знаем \( \angle NMD \).

\( \angle MFD = \angle MND \) (опираются на дугу MD). \( \angle MFD = 67^{\circ} \).

\( \angle F = 67^{\circ} + \angle NFD \).

\( \angle M = 180^{\circ} - \angle F = 180^{\circ} - (67^{\circ} + \angle NFD) \).

\( \angle M = \angle NMF + \angle FMD \). \( \angle FMD = \angle FND \) (опираются на дугу FD). \( \angle FND = 42^{\circ} \). Значит, \( \angle FMD = 42^{\circ} \).

\( \angle M = \angle NMF + 42^{\circ} \).

\( \angle N = 109^{\circ} \) (уже нашли).

\( \angle D = 71^{\circ} \) (уже нашли).

\( \angle F = \angle MFD + \angle NFD \). \( \angle MFD = \angle MND = 67^{\circ} \). \( \angle NFD = \angle NMD \).

\( \angle M + \angle F = 180^{\circ} \).

\( \angle NMF + 42^{\circ} + 67^{\circ} + \angle NFD = 180^{\circ} \).

\( \angle NMF + \angle NFD = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ} \).

\( \angle NMF \) и \( \angle NFD \) — это вписанные углы, опирающиеся на дуги NF и ND соответственно. \( \angle NMF \) и \( \angle NFD \) — это части угла M и F.

\( \angle N = \angle MND + \angle DNF = 67^{\circ} + 42^{\circ} = 109^{\circ} \).

\( \angle D = \angle MDN + \angle NDF = 38^{\circ} + \angle NDF \).

\( \angle D = 180^{\circ} - \angle N = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ} \).

\( 38^{\circ} + \angle NDF = 71^{\circ} \) => \( \angle NDF = 33^{\circ} \).

\( \angle M = \angle NMF + \angle FMD \). \( \angle FMD = \angle FND = 42^{\circ} \) (опираются на дугу FD).

\( \angle F = \angle MFD + \angle NFD \). \( \angle MFD = \angle MND = 67^{\circ} \) (опираются на дугу MD).

\( \angle M = \angle NMF + 42^{\circ} \).

\( \angle F = 67^{\circ} + \angle NFD \).

\( \angle M + \angle F = 180^{\circ} \).

\( \angle NMF + 42^{\circ} + 67^{\circ} + \angle NFD = 180^{\circ} \).

\( \angle NMF + \angle NFD = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ} \).

\( \angle NMF \) опирается на дугу NF. \( \angle NFD \) опирается на дугу ND.

\( \angle NMD = 67^{\circ} \) - опирается на дугу ND. Значит \( \angle NFD = 67^{\circ} \).

\( \angle NMF + 67^{\circ} = 71^{\circ} \) => \( \angle NMF = 4^{\circ} \).

Теперь можем найти все углы:

\( \angle M = \angle NMF + \angle FMD = 4^{\circ} + 42^{\circ} = 46^{\circ} \).

\( \angle N = 109^{\circ} \).

\( \angle F = \angle MFD + \angle NFD = 67^{\circ} + 67^{\circ} = 134^{\circ} \).

\( \angle D = 71^{\circ} \).

Проверка: \( \angle M + \angle F = 46^{\circ} + 134^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle N + \angle D = 109^{\circ} + 71^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle M = 46^{\circ}, \angle N = 109^{\circ}, \angle F = 134^{\circ}, \angle D = 71^{\circ} \).