3. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите: 1) AB − CD + BC; 2) AB − AC + AD; 3) AD + AB − BD − DC.

Question

Вопрос:

3. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите: 1) AB − CD + BC; 2) AB − AC + AD; 3) AD + AB − BD − DC.

Accepted Answer

Для параллелограмма используем равенства векторов: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\).

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}=\vec 0\).
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\).

Ответ: 1) \(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\); 2) \(\vec 0\); 3) \(\overrightarrow{AB}\).