3. Дан ΔABC — равнобедренный (AB = BC). Точка M — середина AC. Через точку M проведена прямая MD, перпендикулярная плоскости ABC. Доказать, что BM ⟂ (AMD).

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Медиана BM, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, перпендикулярна основанию: BM ⟂ AC. Поскольку A и M лежат на AC, имеем BM ⟂ AM.

По условию MD ⟂ (ABC), а BM лежит в плоскости ABC и проходит через M. Поэтому BM ⟂ MD.

Прямые AM и MD пересекаются в точке M и лежат в плоскости (AMD). Прямая BM перпендикулярна обеим, следовательно, BM ⟂ (AMD).