№ 3. Дан параллелепипед MKPFM₁K₁F₁P₁. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: 1) PM + PF + PP₁; 2) M₁M + M₁P₁ + MK; 3) MK + MP + MM₁; 4) K₁M₁ + KK₁ + KF; 5) M₁K₁ + F₁K₁ + KK₁.

Обозначим векторы рёбер, выходящих из вершины M: \(\overrightarrow{MK}=\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{MF}=\mathbf{y}\), \(\overrightarrow{MM_1}=\mathbf{z}\). Тогда \(\overrightarrow{MP}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\).

1. \(\overrightarrow{PM}=-\mathbf{x}-\mathbf{y}\), \(\overrightarrow{PF}=-\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{PP_1}=\mathbf{z}\). Сумма равна \(-2\mathbf{x}-\mathbf{y}+\mathbf{z}\).
2. \(\overrightarrow{M_1M}=-\mathbf{z}\), \(\overrightarrow{M_1P_1}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\), \(\overrightarrow{MK}=\mathbf{x}\). Сумма равна \(2\mathbf{x}+\mathbf{y}-\mathbf{z}\).
3. \(\overrightarrow{MK}=\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{MP}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\), \(\overrightarrow{MM_1}=\mathbf{z}\). Сумма равна \(2\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\).
4. \(\overrightarrow{K_1M_1}=-\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{KK_1}=\mathbf{z}\), \(\overrightarrow{KF}=\mathbf{y}-\mathbf{x}\). Сумма равна \(-2\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\).
5. \(\overrightarrow{M_1K_1}=\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{F_1K_1}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\), \(\overrightarrow{KK_1}=\mathbf{z}\). Сумма равна \(2\mathbf{x}-\mathbf{y}+\mathbf{z}\).

При стандартном обозначении параллелепипеда ни одна из полученных сумм не совпадает с вектором между двумя его вершинами: коэффициенты при независимых векторах рёбер не соответствуют разности координат вершин (коэффициентам 0 или ±1). Возможно, в условии или обозначении вершин есть опечатка; для названия требуемых векторов нужно уточнить исходную запись.