№ 5. Дано: $\vec a=(3;0;2)$, $\vec b=(1;-2;1)$, $\vec c=(5;-1;-3)$, $\vec m=(-3;2;-5)$, A(−6;−4;3), B(5;8;−10), C(4;−7;2). Найти: 1) координаты $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}$; 2) координаты точки K — середины CA; 3) длины $|BC|,|\vec c|,|\vec a|$; 4) координаты $\vec f=3\vec a-\vec b+2\vec c-2\vec m$; 5) $\vec c\cdot\vec b$; 6) $\cos(\vec c,\vec a)$; 7) $\vec b^{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 5. Дано: $\vec a=(3;0;2)$, $\vec b=(1;-2;1)$, $\vec c=(5;-1;-3)$, $\vec m=(-3;2;-5)$, A(−6;−4;3), B(5;8;−10),…$ Фото задания

№ 5. Дано: $\vec a=(3;0;2)$, $\vec b=(1;-2;1)$, $\vec c=(5;-1;-3)$, $\vec m=(-3;2;-5)$, A(−6;−4;3), B(5;8;−10), C(4;−7;2). Найти: 1) координаты $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}$; 2) координаты точки K — середины CA; 3) длины $|BC|,|\vec c|,|\vec a|$; 4) координаты $\vec f=3\vec a-\vec b+2\vec c-2\vec m$; 5) $\vec c\cdot\vec b$; 6) $\cos(\vec c,\vec a)$; 7) $\vec b^{2}$.

Accepted Answer

Координаты вектора находим вычитанием координат его начала из координат конца:
$\overrightarrow{CB}=B-C=(5-4;\,8-(-7);\,-10-2)=(1;15;-12)$.
$\overrightarrow{AB}=B-A=(5-(-6);\,8-(-4);\,-10-3)=(11;12;-13)$.
$\overrightarrow{CA}=A-C=(-6-4;\,-4-(-7);\,3-2)=(-10;3;1)$.
Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов:
$K=\left(\frac{-6+4}{2};\frac{-4+(-7)}{2};\frac{3+2}{2}\right)=(-1;-\frac{11}{2};\frac{5}{2})$.
Длину вектора с координатами $(x;y;z)$ вычисляем по формуле $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$:
$|BC|=|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+15^2+(-12)^2}=\sqrt{370}$.
$|\vec c|=\sqrt{5^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{35}$.
$|\vec a|=\sqrt{3^2+0^2+2^2}=\sqrt{13}$.
Выполняем действия покоординатно:
$\vec f=(9;0;6)-(1;-2;1)+(10;-2;-6)-(-6;4;-10)=(24;-4;9)$.
Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
$\vec c\cdot\vec b=5\cdot1+(-1)\cdot(-2)+(-3)\cdot1=4$.
$\cos(\vec c,\vec a)=\frac{\vec c\cdot\vec a}{|\vec c||\vec a|}=\frac{5\cdot3+(-1)\cdot0+(-3)\cdot2}{\sqrt{35}\sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{455}}$.
Квадрат вектора — его скалярное произведение на себя: $\vec b^{2}=\vec b\cdot\vec b=1^2+(-2)^2+1^2=6$.

Ответ: 1) $(1;15;-12)$, $(11;12;-13)$, $(-10;3;1)$; 2) $K=(-1;-\frac{11}{2};\frac{5}{2})$; 3) $\sqrt{370},\sqrt{35},\sqrt{13}$; 4) $(24;-4;9)$; 5) 4; 6) $\frac{9}{\sqrt{455}}$; 7) 6.