3. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. При симметрии относительно точки D плоскость ABC перешла в плоскость A₁B₁C₁. Найдите расстояние между этими плоскостями.

При центральной симметрии относительно D точка D остаётся на месте, а плоскость ABC переходит в параллельную ей плоскость A₁B₁C₁ по другую сторону от D. Поэтому расстояние между плоскостями вдвое больше расстояния от D до плоскости ABC.

Высота правильного тетраэдра с ребром \(a\) равна \(h=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2}=a\sqrt{\frac23}\): проекция вершины D падает в центр равностороннего треугольника ABC, расстояние от центра до его вершины равно \(\frac{a}{\sqrt3}\).

Следовательно, расстояние между плоскостями равно \(2h=2a\sqrt{\frac23}\).

Ответ: \(2a\sqrt{\frac23}\).