3. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, AC = 10 см, M ∈ AB, AM:MB = 1:4, K ∈ BC, CK:KB = 1:4, P и E — середины сторон AD и DC. Докажите, что четырёхугольник MKEP — трапеция, и вычислите длину её основания MK.

1. В треугольнике \(ADC\) точки \(P\) и \(E\) — середины сторон \(AD\) и \(DC\). По теореме о средней линии треугольника \(PE\parallel AC\) и \(PE=\dfrac{AC}{2}=5\) см.
2. Из отношения \(AM:MB=1:4\) следует, что \(BM/BA=4/5\). Из \(CK:KB=1:4\) следует, что \(BK/BC=4/5\). Поэтому в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(K\) делят стороны \(BA\) и \(BC\) в одинаковом отношении от вершины \(B\).
3. По обратной теореме о пропорциональных отрезках \(MK\parallel AC\). Следовательно, \(MK\parallel PE\), так что четырёхугольник \(MKEP\) — трапеция.
4. Треугольники \(BMK\) и \(BAC\) подобны с коэффициентом \(BM/BA=4/5\). Значит, \(MK=(4/5)AC=(4/5)\cdot10=8\) см.

Ответ: основание \(MK=8\) см.