3. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, M и N — середины сторон AB и BC соответственно; E ∈ CD, K ∈ DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что четырёхугольник MNEK есть трапеция.

а) Схематический пространственный чертёж (параллельные рёбра AB и CD показаны как параллельные отрезки; M и N — середины AB и BC, а точки E и K делят CD и DA в отношениях 1:2):

б) Для пространственного четырёхугольника параллельность противоположных сторон не следует из данных условия: не задано, например, что AB ∥ CD. Более того, M и N — середины сторон треугольника ABC, поэтому MN ∥ AC. В треугольнике ADC точки K и E не являются серединами: DK/DA = DE/DC = 1/3. Следовательно, по подобию треугольников DKE и DAC имеем KE ∥ AC и KE = AC/3.

Таким образом, MN и KE параллельны. Однако для трапеции MNEK это противоположные стороны только при циклическом порядке вершин M–N–E–K; при этом требуемое заключение верно: MN ∥ EK. (Равенство отношений также показывает, что K и E делят DA и DC в одинаковой доле.)

Ответ: MNEK — трапеция, поскольку MN ∥ EK.