№3. Дан прямоугольник ABCD. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. ВМ = 5,4 см, МС = 2 см. Чему равен периметр прямоугольника ABCD?

Решение:

1. Определим длину стороны BC:

Так как М лежит на стороне BC, то длина BC равна сумме длин отрезков BM и MC:

\( BC = BM + MC \)

\( BC = 5,4 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7,4 \text{ см} \)

2. Определим длину стороны AB:

В прямоугольнике ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Рассмотрим угол A. Так как ABCD — прямоугольник, то угол A равен 90 градусов.

Биссектриса делит угол A пополам, значит, \( \angle BAM = \angle DAM = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ABM. Угол B равен 90 градусов (так как это угол прямоугольника). Угол BAM равен 45 градусов.

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Следовательно, угол AMB равен:

\( \angle AMB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \)

Так как \( \angle BAM = \angle AMB = 45^{\circ} \), треугольник ABM является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны:

\( AB = BM \)

\( AB = 5,4 \text{ см} \)

3. Найдем периметр прямоугольника ABCD:

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \( P = 2(a + b) \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон.

\( P_{ABCD} = 2(AB + BC) \)

\( P_{ABCD} = 2(5,4 \text{ см} + 7,4 \text{ см}) \)

\( P_{ABCD} = 2(12,8 \text{ см}) \)

\( P_{ABCD} = 25,6 \text{ см} \)

Ответ: Периметр прямоугольника ABCD равен 25,6 см.