№5. На параллельных прямых а и в отложены два отрезка. Отрезок АВ = 8 см на прямой а, отрезок МК = 10 см на прямой в. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. АК = 13,5 см. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезков АО и КО.

Решение:

Построим рисунок. Прямые а и b параллельны. На прямой а отмечены точки A и B такие, что AB = 8 см. На прямой b отмечены точки M и K такие, что MK = 10 см. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники \( △ ABO \) и \( △ KMO \).

• \( ∠ BAO = ∠ MKO \) как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей AK.
• \( ∠ ABO = ∠ KMO \) как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей BM.
• \( ∠ AOB = ∠ KOM \) как вертикальные углы.

Следовательно, \( △ ABO ∽ △ KMO \) по двум углам (или по трем).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

\( \frac{AB}{KM} = \frac{AO}{KO} = \frac{BO}{MO} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{8}{10} = \frac{AO}{KO} \)

\( \frac{4}{5} = \frac{AO}{KO} \)

Значит, \( AO = \frac{4}{5} KO \).

Также нам известно, что AK = AO + KO = 13,5 см.

Подставим \( AO = \frac{4}{5} KO \) в уравнение:

\( \frac{4}{5} KO + KO = 13,5 \)

\( (\frac{4}{5} + 1) KO = 13,5 \)

\( \frac{9}{5} KO = 13,5 \)

\( KO = 13,5 × \frac{5}{9} = \frac{135}{10} × \frac{5}{9} = \frac{135 × 5}{10 × 9} = \frac{675}{90} = 7,5 \) см.

Теперь найдём AO:

\( AO = AK - KO = 13,5 - 7,5 = 6 \) см.

Ответ: AO = 6 см, KO = 7,5 см.