№6. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 100 см, а одна из диагоналей равна 40 см.

Решение:

Периметр ромба равен 100 см. Так как у ромба все стороны равны, то длина одной стороны равна:

\( a = \frac{100 \text{ см}}{4} = 25 \) см.

Одна из диагоналей ромба равна 40 см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть диагональ \( d_1 = 40 \) см. Тогда половина диагонали равна \( \frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной одной диагонали, половиной другой диагонали и стороной ромба. По теореме Пифагора:

\( (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \)

\( 20^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 25^2 \)

\( 400 + (\frac{d_2}{2})^2 = 625 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 625 - 400 = 225 \)

\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{225} = 15 \) см.

Тогда вторая диагональ \( d_2 = 15 × 2 = 30 \) см.

Площадь ромба вычисляется по формуле:

\( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \)

\( S = \frac{1}{2} × 40 × 30 = \frac{1}{2} × 1200 = 600 \) см².

Ответ: Площадь ромба равна 600 см².