№6. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 100 см, а одна из диагоналей равна 40 см.

Решение:

1. Найдем сторону ромба.

Периметр ромба вычисляется по формуле \( P = 4a \), где \( a \) — длина стороны ромба.

\( 100 \text{ см} = 4a \)

\( a = \frac{100 \text{ см}}{4} = 25 \text{ см} \)

2. Найдем половину второй диагонали.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим диагонали как \( d_1 \) и \( d_2 \).

Пусть \( d_1 = 40 \text{ см} \). Тогда половина первой диагонали равна \( \frac{d_1}{2} = \frac{40 \text{ см}}{2} = 20 \text{ см} \).

Диагонали, сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольные треугольники. В таком треугольнике сторона ромба является гипотенузой, а половинки диагоналей — катетами.

По теореме Пифагора: \( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( (25 \text{ см})^2 = (20 \text{ см})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( 625 \text{ см}^2 = 400 \text{ см}^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 625 \text{ см}^2 - 400 \text{ см}^2 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 225 \text{ см}^2 \)

\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см} \)

3. Найдем длину второй диагонали.

\( d_2 = 2 \cdot \frac{d_2}{2} = 2 \cdot 15 \text{ см} = 30 \text{ см} \)

4. Найдем площадь ромба.

Площадь ромба вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 1200 \text{ см}^2 \)

\( S = 600 \text{ см}^2 \)

Ответ: Площадь ромба равна 600 см².