3. Дан треугольник ABC. Боковые стороны равнобедренного треугольника ADC являются биссектрисами углов A и C треугольника ABC. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Поскольку боковые стороны равнобедренного треугольника ADC — это AD и CD, имеем AD = CD. Его углы при основании равны: ∠DAC = ∠ACD.

По условию AD — биссектриса угла A, а CD — биссектриса угла C треугольника ABC. Поэтому ∠A = 2∠DAC и ∠C = 2∠ACD.

Из равенства ∠DAC = ∠ACD следует, что ∠A = ∠C. В треугольнике ABC против равных углов лежат равные стороны, следовательно, BC = AB.

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.