3. Дан треугольник ABC и точка O вне этого треугольника. а) Постройте треугольник A₁B₁C₁, при гомотетии с центром O и коэффициентом k = 1/2. б) Найдите длину A₁C₁, если AC = 9 см. в) Чему равно отношение периметров треугольников A₁B₁C₁ и ABC?

а) Проведём лучи OA, OB и OC. Поскольку k = 1/2, отметим на каждом луче точку, находящуюся на половине расстояния от O до соответствующей вершины: A₁ — середина OA, B₁ — середина OB, C₁ — середина OC. Соединим A₁, B₁ и C₁.

б) Длины соответствующих сторон при гомотетии с коэффициентом 1/2 уменьшаются вдвое: A₁C₁ = AC · 1/2 = 9 · 1/2 = 4,5 см.

в) Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия. Поэтому P(A₁B₁C₁):P(ABC) = 1:2.

Ответ: б) A₁C₁ = 4,5 см; в) P(A₁B₁C₁):P(ABC) = 1:2.