3. Дана правильная четырёхугольная пирамида ABCDS, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной 6 см. O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Высота SO пирамиды равна 4 см. Точка M — середина ребра DC. а) Найдите расстояние от точки S до плоскости ABC. б) Найдите расстояние от точки M до плоскости BSC. в) Найдите расстояние от точки S до прямой DC.

а) SO — высота пирамиды, поэтому SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Следовательно, расстояние от S до плоскости ABC равно SO = 4 см.

б) Введём координаты: B(0; 6; 0), C(6; 6; 0), D(6; 0; 0), O(3; 3; 0), S(3; 3; 4). Тогда M — середина DC, то есть M(6; 3; 0).

Плоскость BSC проходит через B, C и S. Её уравнение: \(4y+3z=24\). Расстояние от M до этой плоскости:

\(d=\frac{|4\cdot3+3\cdot0-24|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{12}{5}=2.4\) см.

в) Ближайшая к S точка прямой DC — точка, лежащая под S на уровне основания и имеющая координаты (6; 3; 0). Горизонтальное смещение от S до неё равно 3 см, вертикальное — 4 см. Поэтому расстояние равно \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) см.

Ответ: а) 4 см; б) 2,4 см; в) 5 см.