3. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 2√2 и боковым ребром 1. Найдите угол между прямыми AB₁ и CA₁.

Расположим основание в плоскости, а боковые рёбра направим перпендикулярно ей. Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(2\sqrt{2},0,0)\), \(C=(\sqrt{2},\sqrt{6},0)\); тогда \(A_1=(0,0,1)\), \(B_1=(2\sqrt{2},0,1)\).

Направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{AB_1}=(2\sqrt{2},0,1)\), \(\overrightarrow{CA_1}=(-\sqrt{2},-\sqrt{6},1)\).

Их скалярное произведение равно \(-4+1=-3\), а длины обоих векторов равны 3. Поэтому косинус острого угла между прямыми равен \(\frac{|-3|}{3\cdot3}=\frac13\).

Ответ: \(\arccos\frac13\) (примерно \(70.5^\circ\)).