3. Дана прямоугольная трапеция ABCD, ∠A = ∠B = 90°, AB = 8 см, ∠CAD = 45°, CK — высота, AK : KD = 2 : 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Так как CK — высота прямоугольной трапеции, то CK = AB = 8 см.

Треугольник ACK прямоугольный, причём \(\angle CAD=45^\circ\). Следовательно, он равнобедренный прямоугольный:

\[AK=CK=8\text{ см}.\]

По условию \(AK:KD=2:1\), поэтому

\[KD=\frac{AK}{2}=4\text{ см}.\]

Нижнее основание:

\[AD=AK+KD=8+4=12\text{ см}.\]

Верхнее основание \(BC=AK=8\) см. Средняя линия равна:

\[m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{12+8}{2}=10\text{ см}.\]

Ответ: 10 см.