3. Дано: ABCD — параллелограмм; A₁A = C₁C; B₁B = D₁D. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

По рисунку точки A₁ и C₁ лежат на диагонали AC, причём A₁A = C₁C. Следовательно, A₁ и C₁ симметричны относительно середины AC, то есть O — середина A₁C₁.

Аналогично, B₁ и D₁ лежат на BD и удовлетворяют B₁B = D₁D. Значит, O — середина B₁D₁.

Итак, диагонали четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказано: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.