3. Дано: ABCD — параллелограмм; BE = DF. Доказать: AECF — параллелограмм.

Задание 3. Доказательство параллелограмма

Дано: ABCD — параллелограмм; BE = DF.

Доказать: AECF — параллелограмм.

Решение:

Чтобы доказать, что четырехугольник AECF является параллелограммом, мы можем использовать одно из следующих свойств:

• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Рассмотрим сторону AE и сторону CF.

1. По условию, ABCD — параллелограмм. Следовательно, AB || DC и AB = DC.
2. По условию, BE = DF.
3. Рассмотрим отрезки AE и CF.
• AE = AB - BE
• CF = CD - DF
4. Так как AB = DC и BE = DF, то вычитая равные отрезки из равных, получаем, что AE = CF.
5. Также, так как AB || DC, то и отрезки, лежащие на них, параллельны. Следовательно, AE || CF.
6. Мы получили, что в четырехугольнике AECF стороны AE и CF равны (AE = CF) и параллельны (AE || CF).
7. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Вывод: Таким образом, AECF является параллелограммом.