3. Дано: ABCD — параллелограмм; M лежит на BC, N лежит на AD; ∠BAM = ∠DCN. Доказать: AMCN — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CDN\).

1. В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны равны и параллельны: \(AB = CD\), \(AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD\).
2. Так как \(M \in BC\), а \(N \in AD\), то \(BM \parallel DN\). Поэтому \(\angle ABM = \angle CDN\).
3. По условию \(\angle BAM = \angle DCN\).
4. Следовательно, \(\triangle ABM \cong \triangle CDN\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников получаем \(AM = CN\) и \(\angle AMB = \angle CND\). С учётом параллельности \(BM\) и \(DN\) отсюда следует, что \(AM \parallel CN\).

В четырёхугольнике \(AMCN\) противоположные стороны \(AM\) и \(CN\) равны и параллельны. Следовательно, \(AMCN\) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.