3. Дано: ABCD — параллелограмм; M — середина BO; N — середина DO. Доказать: AMCN — параллелограмм.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD через O.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O — середина AC и BD.
2. Рассмотрим треугольник BOD. Так как M и N — середины его сторон BO и DO, отрезок MN является средней линией треугольника. Следовательно, \(MN \parallel BD\).
3. Точки A, O, C лежат на одной прямой, а точки B, O, D — на другой. Средняя линия MN проходит через середину отрезка BD и имеет середину в точке O. Поэтому O — середина MN.
4. O также является серединой диагонали AC.
5. В четырёхугольнике AMCN диагонали AC и MN пересекаются и делятся пополам в точке O.

Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: AMCN — параллелограмм.