3. Дано: ABCD — параллелограмм; M — середина BO; N — середина DO; O — точка пересечения диагоналей. Доказать, что AMCN — параллелограмм.

Так как ABCD — параллелограмм, его диагонали точкой пересечения делятся пополам:

\(AO = OC\),   \(BO = OD\).

Введём векторы. Поскольку O — середина диагонали AC, имеем \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}\). Так как M и N — середины отрезков BO и DO, то:

\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\),   \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}\), поэтому \(\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{ON}\).

Следовательно, точка O является серединой отрезка MN. По условию O также является серединой отрезка AC.

Диагонали AC и MN четырёхугольника AMCN пересекаются и делятся пополам. Значит, AMCN — параллелограмм.

Ответ: AMCN — параллелограмм, так как его диагонали AC и MN делятся точкой O пополам.