3. Дано: ABCD — параллелограмм; точки A₁ и C₁ лежат на диагонали AC, точки B₁ и D₁ — на диагонали BD; AA₁ = CC₁; BB₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.

1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим их общую середину O.
2. Точки A₁ и C₁ лежат на AC, а AA₁ = CC₁. Следовательно, O — середина A₁C₁.
3. Точки B₁ и D₁ лежат на BD, а BB₁ = DD₁. Следовательно, O — середина B₁D₁.
4. В четырёхугольнике A₁B₁C₁D₁ диагонали A₁C₁ и B₁D₁ пересекаются и делятся пополам в точке O. По признаку параллелограмма этот четырёхугольник — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.