3. Дано: ABCD — прямоугольник, причём BD в 2 раза больше AB. Найти OH. На рисунке O — точка пересечения диагоналей, OH ⟂ AD, а BD = 12.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому, если BD = 12, то OD = 6. По условию BD = 2AB, значит AB = 6.

Треугольник AOD прямоугольный, его гипотенуза OD = 6, а катет AD = BC. По теореме Пифагора можно сначала найти AD: при BD² = AB² + AD² получаем 12² = 6² + AD², откуда AD = 6√3. (Здесь в прямоугольнике диагональ BD является гипотенузой треугольника ABD.)

Расположим A=(0,0), D=(6√3,0), B=(0,6), C=(6√3,6). Точка пересечения диагоналей — центр прямоугольника, поэтому её высота над AD равна половине AB: OH = AB/2 = 3.

Ответ: OH = 3.