3. Дано: ABCM — трапеция, AM = 7. Найти: CM. На рисунке BC = 5, BK ⟂ AM, CP ⟂ AM, ∠A = ∠M = 60°, а боковые стороны AB и CM отмечены равными.

Перпендикуляры BK и CP к основанию AM показывают, что BC и KP — равные отрезки: четырёхугольник BKPC — прямоугольник, поэтому \(KP=BC=5\).

Из равенства боковых сторон и углов при основании следует, что трапеция равнобедренная. В прямоугольных треугольниках ABK и MCP равны гипотенузы \(AB=CM\) и катеты \(BK=CP\), поэтому \(AK=PM\).

Разложим основание: \(AM=AK+KP+PM=2PM+5=7\). Отсюда \(PM=1\).

В прямоугольном треугольнике MCP угол при M равен \(60^\circ\), а \(PM=1\). Тогда \(\cos 60^\circ=PM/CM\), откуда \(CM=1/(1/2)=2\).

Ответ: \(CM=2\).