3. Дано: AO = OB, ∠C = 90°, ∠D = 90°. Докажите, что O — середина CD.

По рисунку точки C, O и D лежат на одной прямой, а точки A, O и B — на другой.

1. Треугольники AOC и BOD прямоугольные, поскольку ∠C = ∠D = 90°.
2. AO = OB по условию, это гипотенузы этих треугольников.
3. ∠AOC = ∠BOD как вертикальные углы.
4. Следовательно, прямоугольные треугольники AOC и BOD равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому OC = OD.

Точка O лежит на CD и равноудалена от его концов, значит, O — середина CD.