3. Дано: BD ⊥ AC; ∠C = 45°; AD = 6 см; DC = 4 см. Знайти: S_{ABC}

Рішення:

Площа трикутника \( ABC \) дорівнює половині добутку основи на висоту: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} + AC + BD \).

Згідно з умовою, \( BD \) є висотою, проведеною до основи \( AC \).

Основа \( AC = AD + DC = 6 + 4 = 10 \) см.

Розглянемо прямокутний трикутник \( BDC \).

За умовою, \( \angle C = 45^{\circ} \).

Оскільки \( \triangle BDC \) прямокутний і \( \angle C = 45^{\circ} \), то \( \angle DBC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Отже, \( \triangle BDC \) є рівнобедреним прямокутним трикутником, де \( BD = DC \).

Оскільки \( DC = 4 \) см, то \( BD = 4 \) см.

Тепер можемо знайти площу \( \triangle ABC \):

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} + AC + BD = \frac{1}{2} + 10 \) см \( \u0010 4 \) см = \( \frac{1}{2} + 40 \) см² = \( 20 \) см².

Відповідь: 20 см².