3. Дано: MNBD — параллелограмм; ∠ADM = ∠CBN. Доказать: ABCD — параллелограмм.

Так как MNBD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: MD ∥ BN и MB ∥ DN. По рисунку M лежит на AB, а N — на CD.

1. Из MB ∥ DN следует AB ∥ CD, поскольку MB лежит на прямой AB, а DN — на прямой CD.
2. Обозначим ∠ADM = α. По условию ∠CBN = α.
3. Поскольку MD ∥ BN, угол между AD и MD равен углу между AD и BN. Равенство ∠ADM = ∠CBN означает, что прямые AD и CB образуют с параллельными MD и BN равные соответствующие углы; по расположению лучей на рисунке получаем AD ∥ BC.
4. В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Значит, ABCD — параллелограмм.

Доказано.