№ 3. Даны случайные величины Х и У и их математические ожидания: EX = 6, EY = 5. Найдите математическое ожидание случайной величины: а) Z = X - Y; б) U = 1/5Y + 6.

Решение:

Математическое ожидание обладает свойством линейности. Это значит, что:

• E(X ± Y) = EX ± EY


• E(cX) = cEX, где c — константа.

а) Нахождение E(Z), где Z = X - Y:

• Используем свойство линейности:

\[ E(Z) = E(X - Y) = EX - EY \]

• Подставляем известные значения: EX = 6, EY = 5.

\[ E(Z) = 6 - 5 \]

\[ E(Z) = 1 \]

б) Нахождение E(U), где U = 1/5Y + 6:

• Используем свойство линейности:

\[ E(U) = E(\frac{1}{5}Y + 6) = E(\frac{1}{5}Y) + E(6) \]

• Применяем свойства:

\[ E(U) = \frac{1}{5}EY + 6 \]

• Подставляем известное значение: EY = 5.

\[ E(U) = \frac{1}{5} \cdot 5 + 6 \]

\[ E(U) = 1 + 6 \]

\[ E(U) = 7 \]

Ответ: а) EZ = 1; б) EU = 7