3. Даны точки A(−1; 5; 3), B(−1; 3; 9), C(3; −2; 6). Доказать, что ΔABC — прямоугольный.

Проверим перпендикулярность сторон по скалярным произведениям.

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(0;-2;6),\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(4;-7;3).\]

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\cdot4+(-2)(-7)+6\cdot3=14+18=32\ne0.\]

Проверим угол при вершине B:

\[\overrightarrow{BA}=A-B=(0;2;-6),\quad \overrightarrow{BC}=C-B=(4;-5;-3).\]

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\cdot4+2(-5)+(-6)(-3)=-10+18=8\ne0.\]

Проверим угол при вершине C:

\[\overrightarrow{CA}=A-C=(-4;7;-3),\quad \overrightarrow{CB}=B-C=(-4;5;3).\]

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-4)(-4)+7\cdot5+(-3)\cdot3=16+35-9=42\ne0.\]

Ни одно из трёх скалярных произведений не равно нулю. Следовательно, по указанным координатам треугольник не является прямоугольным.

Ответ: утверждение задания неверно для данных координат; вероятно, в условии имеется опечатка.