3. Даны точки A(3; 0), B(-1; 3), C(-4; -1). а) Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{CB}\); б) найдите длину вектора \(\overrightarrow{AC}\); в) является ли треугольник ABC равнобедренным? г) найдите длину биссектрисы BM.

а) Координаты вектора получаем вычитанием координат начала из координат конца:

\(\overrightarrow{CB}=(x_B-x_C;y_B-y_C)=(-1-(-4);3-(-1))=(3;4).\)

б) \(\overrightarrow{AC}=(-4-3;-1-0)=(-7;-1)\), поэтому его длина равна \(\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).

в) Проверим длины сторон: \(AB=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\), \(BC=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5\), \(AC=5\sqrt{2}\). Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный.

г) В равнобедренном треугольнике с \(AB=BC=5\) биссектриса из вершины \(B\) является высотой и медианой к основанию \(AC\). Половина основания равна \(AC/2=5\sqrt{2}/2\). По теореме Пифагора:

\(BM=\sqrt{AB^2-(AC/2)^2}=\sqrt{25-50/4}=\sqrt{25/2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.\)

Ответ: а) \((3;4)\); б) \(5\sqrt{2}\); в) да; г) \(BM=\frac{5\sqrt{2}}{2}\).