4. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Обозначим точку A за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин: \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\).

Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, поэтому \(O=\frac{A+C}{2}=\frac{\vec a+\vec b}{2}\). Следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).

Так как \(K\) — середина \(BC\), \(K=\frac{B+C}{2}=\vec a+\frac12\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\).

Наконец, \(\overrightarrow{KD}=D-K=\vec b-(\vec a+\frac12\vec b)=-\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KD}=-\vec a+\frac12\vec b\).