3. Даны векторы m(5; p) и n(9;-3). При каком значении p векторы т и й: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Задание 3. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов

Даны векторы \( \vec{m}(5; p) \) и \( \vec{n}(9; -3) \).

1) Когда векторы коллинеарны?

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \) или \( x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 \).

Используем пропорцию:

\( \frac{5}{9} = \frac{p}{-3} \)

Чтобы найти \( p \), решим это уравнение:

\( 9 \cdot p = 5 \cdot (-3) \)

\( 9p = -15 \)

\( p = \frac{-15}{9} = \frac{-5}{3} \)

2) Когда векторы перпендикулярны?

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение \( \vec{m} \cdot \vec{n} = x_1x_2 + y_1y_2 \).

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 9 + p \cdot (-3) = 45 - 3p \)

Приравниваем скалярное произведение к нулю:

\( 45 - 3p = 0 \)

\( 3p = 45 \)

\( p = \frac{45}{3} = 15 \)

Ответ:

• Векторы коллинеарны при \( p = -\frac{5}{3} \).
• Векторы перпендикулярны при \( p = 15 \).