4. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки Е и F так, что АЕ: EB = 7:2, AF: FD = 2 : 1. Выразите вектор EF через векторы CD = а и СВ = б.

Задание 4. Вектор через векторы сторон параллелограмма

Дано параллелограмм ABCD. Точки E на AB и F на AD такие, что \( AE:EB = 7:2 \) и \( AF:FD = 2:1 \).

Нужно выразить вектор \( \vec{EF} \) через \( \vec{CD} = \vec{a} \) и \( \vec{CB} = \vec{b} \).

В параллелограмме \( \vec{AB} = \vec{DC} = -\vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b} \).

Сначала найдем векторы \( \vec{AE} \) и \( \vec{AF} \) через \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \).

Из условия \( AE:EB = 7:2 \), значит, \( AE = \frac{7}{7+2} AB = \frac{7}{9} AB \). Следовательно, \( \vec{AE} = \frac{7}{9} \vec{AB} \).

Из условия \( AF:FD = 2:1 \), значит, \( AF = \frac{2}{2+1} AD = \frac{2}{3} AD \). Следовательно, \( \vec{AF} = \frac{2}{3} \vec{AD} \).

Теперь найдем вектор \( \vec{EF} \):

\( \vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} \)

Подставим выражения для \( \vec{AE} \) и \( \vec{AF} \):

\( \vec{EF} = \frac{2}{3} \vec{AD} - \frac{7}{9} \vec{AB} \)

Теперь нам нужно выразить \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) через \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

У нас есть: \( \vec{CD} = \vec{a} \), значит \( \vec{AB} = -\vec{a} \).

И \( \vec{CB} = \vec{b} \), значит \( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b} \).

Подставим это в выражение для \( \vec{EF} \):

\( \vec{EF} = \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{7}{9} (-\vec{a}) \)

\( \vec{EF} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{7}{9} \vec{a} \)

Ответ: \( \vec{EF} = \frac{7}{9} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \).