3. ДАВС — равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. LADB = 100°. Найти: ∠С.

Решение:

1. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. Это означает, что \(AC = BC\), а углы при основании равны: \(\angle CAB = \angle CBA\).

2. CD — биссектриса угла ACB. AD — биссектриса угла CAB. BD — биссектриса угла CBA.

3. Рассмотрим треугольник ABD. По условию \(\angle ADB = 100^{\circ}\).

4. Углы \(\angle DAB\) и \(\angle DBA\) являются половинами углов \(\angle CAB\) и \(\angle CBA\) соответственно, так как AD и BD — биссектрисы.

\(\angle DAB = \frac{1}{2} \angle CAB\)

\(\angle DBA = \frac{1}{2} \angle CBA\)

5. Так как \(\angle CAB = \angle CBA\), то и \(\angle DAB = \angle DBA\).

6. В треугольнике ABD сумма углов равна \(180^{\circ}\):

\(\angle DAB + \angle DBA + \angle ADB = 180^{\circ}\)

\(\angle DAB + \angle DBA + 100^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(\angle DAB + \angle DBA = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}\)

7. Так как \(\angle DAB = \angle DBA\), то:

\(2 \cdot \angle DAB = 80^{\circ}\)

\(\angle DAB = 40^{\circ}\)

Значит, \(\angle DBA = 40^{\circ}\).

8. Поскольку AD — биссектриса \(\angle CAB\), то \(\angle CAB = 2 \cdot \angle DAB = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

9. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то \(\angle CBA = \angle CAB = 80^{\circ}\).

10. Найдем \(\angle C\) в треугольнике ABC:

\(\angle C = 180^{\circ} - (\angle CAB + \angle CBA)\)

\(\angle C = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ})\)

\(\angle C = 180^{\circ} - 160^{\circ}\)

\(\angle C = 20^{\circ}\)

Ответ: \(\angle C = 20^{\circ}\).