3. Диагональ куба равна 18. Найдите площадь его поверхности.

Решение:

1. Связь диагонали куба и его ребра.

• Пусть ребро куба равно \( a \).
• Диагональ куба \( d \) находится по формуле: \( d = a\sqrt{3} \).
• Нам дано, что \( d = 18 \).
• \( 18 = a\sqrt{3} \).
• Выразим ребро \( a \): \( a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \) (единиц длины).

2. Площадь поверхности куба.

• Куб имеет 6 граней, каждая из которых — квадрат.
• Площадь одной грани: \( S_{гр} = a^2 \).
• \( S_{гр} = (6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108 \) (единиц площади).
• Площадь всей поверхности куба: \( S_{полн} = 6 S_{гр} \).
• \( S_{полн} = 6 \cdot 108 = 648 \) (единиц площади).

Ответ: 648.