4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24, высота призмы равна 23. Найдите площадь ее поверхности.

Решение:

1. Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

\( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).

1.1. Основание призмы — прямоугольный треугольник.

• Катеты: \( a = 10 \) и \( b = 24 \).
• Площадь одного основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120 \) (единиц площади).
• Площадь двух оснований: \( 2 S_{осн} = 2 \cdot 120 = 240 \) (единиц площади).

1.2. Площадь боковой поверхности.

• Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).
• Найдём гипотенузу \( c \) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 \).
• \( c = \sqrt{676} = 26 \).
• Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 10 + 24 + 26 = 60 \) (единиц длины).
• Высота призмы: \( h = 23 \).
• Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 60 \cdot 23 = 1380 \) (единиц площади).

1.3. Общая площадь поверхности призмы.

• \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).
• \( S_{полн} = 240 + 1380 = 1620 \) (единиц площади).

Ответ: 1620.