3. Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Приветик! Давай разберемся с углами в прямоугольнике.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники AOB, BOC, COD, DOA — равнобедренные.

Пусть диагональ AC образует угол 74° с одной из сторон, например, со стороной AB. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC:

\[ ∠ BAC = 74^\circ \]

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, значит:

\[ ∠ BCA = 180^\circ - 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]

Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный (OB = OC). Угол ∠ BCA = 16°. Угол ∠ BOC — это угол между диагоналями.

Угол ∠ ACB = 16°. Угол ∠ CAD = ∠ ACB = 16° (как накрест лежащие при параллельных сторонах AD и BC и секущей AC).

Рассмотрим треугольник AOD. Он равнобедренный (OA = OD). Угол ∠ CAD = 16°. Тогда угол ∠ ODA = 16°.

Угол ∠ AOD — это угол между диагоналями. В треугольнике AOD:

\[ ∠ AOD = 180^\circ - (∠ OAD + ∠ ODA) \]

\[ ∠ AOD = 180^\circ - (16^\circ + 16^\circ) \]

\[ ∠ AOD = 180^\circ - 32^\circ \]

\[ ∠ AOD = 148^\circ \]

Это тупой угол между диагоналями. Острый угол будет смежным с ним:

\[ 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]

Ответ: 32