3. Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке N. Докажите, что: 1) треугольник DNE — равнобедренный; 2) если точка O является серединой стороны EF, то NO ⟂ EF.

1) В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому половины диагоналей равны: DN = EN. Следовательно, треугольник DNE равнобедренный.

2) Пусть O — середина EF. В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому N — центр прямоугольника. Рассмотрим треугольник NEF: поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, а диагонали равны, треугольник NEF равнобедренный с NE = NF. Точка O — середина его основания EF. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Значит, NO ⟂ EF.