3. Диагонали равнобедренной трапеции образуют с её основаниями углы 40°. Найдите больший угол трапеции, если одно её основание равно боковой стороне.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, где a > b, а боковая сторона равна l. Разместим большее основание горизонтально. Из равенства боковых сторон горизонтальный сдвиг каждого конца меньшего основания относительно соответствующего конца большего основания равен x = (a − b)/2.

Диагональ образует с основанием угол 40°, поэтому её горизонтальная проекция равна сумме горизонтальной проекции боковой стороны и меньшего основания: a − x = (a + b)/2. Следовательно, tan 40° = 2h/(a + b), где h — высота трапеции.

Так как одно основание равно боковой стороне, возможны два случая.

1. Если a = l, то из l² = h² + x² и x = (a − b)/2 следует, что при u = b/a выполняется h/a = √(1 − (1 − u)²/4). Подстановка в tan 40° = 2h/[a(1 + u)] даёт u ≈ 0.656. Тогда tan θ = h/x ≈ 4.91, где θ — больший угол трапеции, поэтому θ ≈ 78.5°.
2. Если b = l, то l² = h² + x² и x = (a − b)/2 < a/2, откуда h/l > √3/2. Но из диагонального угла tan 40° = 2h/(a + b) и a + b > 2b = 2l следует h/l < tan 40° < √3/2. Получено противоречие, поэтому этот случай невозможен.

Ответ: больший угол приблизительно равен 78.5°.