3. Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Решение:

Дано: Диаметр шара равен \( d \). Плоскость проведена под углом \( 45^{\circ} \) к диаметру через его конец.

Чтобы найти площадь сечения шара плоскостью, нам нужно определить радиус этого сечения. Сечение шара плоскостью — это круг.

1. Радиус шара равен \( R = \frac{d}{2} \).
2. Плоскость проходит через конец диаметра под углом \( 45^{\circ} \) к нему. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости сечения будет равно \( h \).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — радиус шара \( R \), один из катетов — расстояние от центра шара до плоскости \( h \), а другой катет — радиус сечения \( r \). Угол между диаметром и плоскостью равен \( 45^{\circ} \), поэтому угол между радиусом (который является частью диаметра) и плоскостью также \( 45^{\circ} \).
   Угол между радиусом, проведенным к точке на окружности сечения, и диаметром, перпендикулярным к плоскости, равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике:
   \( \sin(45^{\circ}) = \frac{r}{R} \)
   \( r = R \sin(45^{\circ}) = R \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   Подставим \( R = \frac{d}{2} \):
   \( r = \frac{d}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d\sqrt{2}}{4} \).
4. Площадь сечения (круга) равна:
   \( S_{сеч} = \pi r^2 \)
   \( S_{сеч} = \pi \left(\frac{d\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \pi \frac{d^2 \cdot 2}{16} = \frac{\pi d^2}{8} \).

Ответ: Площадь сечения равна \( \frac{\pi d^2}{8} \).