4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

Дано: Плоскость параллельна оси цилиндра. Отсекает дугу в 90°. Диагональ сечения \( D_{сеч} = 10 \) см. Расстояние от оси до плоскости \( d_{ос} = 4 \) см.

1. Плоскость, параллельная оси цилиндра, и отсекающая дугу в 90° на окружности основания, образует прямоугольник в сечении.
2. Диагональ этого прямоугольника равна \( D_{сеч} = 10 \) см.
3. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно 4 см. Это расстояние является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет — это радиус окружности основания \( r \), а гипотенуза — расстояние от оси до точки на окружности основания, лежащей на одной из сторон сечения (то есть радиус \( r \)).
   Однако, это рассуждение не совсем корректно. Расстояние от оси до плоскости сечения — это расстояние от оси до хорды, которая является стороной прямоугольника сечения.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( r \), половиной стороны сечения (которая является длиной хорды), и расстоянием от оси до плоскости (4 см).
   Дуга в 90° означает, что хорда, стягивающая эту дугу, является стороной квадрата, вписанного в основание. Длина стороны квадрата, вписанного в окружность радиуса \( r \), равна \( a = r\sqrt{2} \).
   Сторона прямоугольника сечения, параллельная основанию, равна длине этой хорды.
   Рассмотрим треугольник, образованный центром основания, серединой хорды и концом хорды. Это прямоугольный треугольник. Гипотенуза — радиус \( r \), один катет — расстояние от оси до плоскости (4 см), другой катет — половина хорды.
4. Поскольку дуга равна 90°, хорда стягивает четверть окружности. Если радиус основания \( r \), то длина хорды \( a = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2} \).
   Расстояние от центра окружности до хорды, стягивающей дугу 90°, равно \( \frac{a}{2} \) если центр окружности находится в середине дуги, что неверно.
5. Правильное рассуждение:
   Радиус основания \( r \). Дуга в 90° означает, что хорда, отсекающая эту дугу, соединяет концы радиусов, образующих угол 90° с центром. Длина этой хорды \( a = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2} \).
   Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения (4 см) равно расстоянию от центра основания до этой хорды.
   В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания \( r \) (гипотенуза), расстоянием от оси до плоскости (4 см) (один катет), и половиной хорды (другой катет), мы имеем:
   \( r^2 = 4^2 + (\frac{a}{2})^2 \)
   \( r^2 = 16 + (\frac{r\sqrt{2}}{2})^2 \)
   \( r^2 = 16 + \frac{r^2 \cdot 2}{4} \)
   \( r^2 = 16 + \frac{r^2}{2} \)
   \( r^2 - \frac{r^2}{2} = 16 \)
   \( \frac{r^2}{2} = 16 \)
   \( r^2 = 32 \)
   \( r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.
6. Диагональ сечения (прямоугольника) равна 10 см. Стороны прямоугольника — это высота цилиндра \( h \) и длина хорды \( a \).
   \( a = r\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 \) см.
7. По теореме Пифагора для прямоугольника сечения:
   \( h^2 + a^2 = D_{сеч}^2 \)
   \( h^2 + 8^2 = 10^2 \)
   \( h^2 + 64 = 100 \)
   \( h^2 = 100 - 64 = 36 \)
   \( h = 6 \) см.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра:
   \( S_{бок} = 2\pi r h \)
   \( S_{бок} = 2\pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6 = 48\sqrt{2}\pi \) см².

Ответ: \( 48\sqrt{2}\pi \) см².