3. Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 150°.

Решение:

Дано: Окружность с центром в точке O. Диаметры AB и CD. $$\angle BOD = 150^{\circ}$$.

Найти: $$\angle ADO$$.

Решение:

1. Угол $$\angle AOC$$ является вертикальным к углу $$\angle BOD$$. Вертикальные углы равны, поэтому $$\angle AOC = \angle BOD = 150^{\circ}$$.
2. Угол $$\angle BOC$$ смежный с углом $$\angle BOD$$. Сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$, поэтому $$\angle BOC = 180^{\circ} - \angle BOD = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$$.
3. Угол $$\angle AOD$$ является вертикальным к углу $$\angle BOC$$. Следовательно, $$\angle AOD = \angle BOC = 30^{\circ}$$.
4. Рассмотрим треугольник $$\triangle ADO$$. OD и OA — радиусы окружности, поэтому $$\triangle ADO$$ — равнобедренный треугольник с основанием AD.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $$\angle ADO = \angle OAD$$.
6. Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$. В $$\triangle ADO$$: $$\angle AOD + \angle ADO + \angle OAD = 180^{\circ}$$.
7. Подставим известные значения: $$30^{\circ} + \angle ADO + \angle ADO = 180^{\circ}$$.
8. $$2 \angle ADO = 180^{\circ} - 30^{\circ}$$.
9. $$2 \angle ADO = 150^{\circ}$$.
10. $$\angle ADO = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$$.

Ответ: $$\angle ADO = 75^{\circ}$$.