Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Найдите его углы.Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Биссектриса BD угла при основании AC. BD = AC.

Найти: Углы треугольника ABC.

Решение:

  1. Пусть $$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$$. Тогда $$\angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha$$.
  2. BD — биссектриса угла ABC, значит, $$\angle ABD = \angle DBC = \frac{180^{\circ} - 2\alpha}{2} = 90^{\circ} - \alpha$$.
  3. Рассмотрим треугольник ABD. Углы треугольника: $$\angle BAD = \alpha$$, $$\angle ABD = 90^{\circ} - \alpha$$.
  4. Сумма углов в $$\triangle ABD$$ равна $$180^{\circ}$$.
  5. $$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - \alpha - (90^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} - \alpha - 90^{\circ} + \alpha = 90^{\circ}$$.
  6. Значит, $$\triangle ABD$$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $$\angle ADB = 90^{\circ}$$.
  7. В прямоугольном треугольнике ABD, катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы.
  8. Рассмотрим $$\triangle ABD$$. У нас есть:
    • \(\angle BAD = \alpha\)
    • \(\angle ABD = 90^{\circ} - \alpha\)
    • \(\angle ADB = 90^{\circ}\)
    • Катет AD
    • Катет BD
    • Гипотенуза AB
  9. По условию, биссектриса BD равна основанию AC. В равнобедренном треугольнике ABC, основание — это AC.
  10. В прямоугольном $$\triangle ABD$$ у нас $$\angle BAD = \alpha$$ и \(\angle ABD = 90^{\circ} - \alpha\).
  11. Если $$\alpha = 30^{\circ}$$, то $$\angle ABD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.
  12. В этом случае $$\triangle ABD$$ будет иметь углы $$30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$$.
  13. Если $$\alpha = 30^{\circ}$$, то $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, $$\angle BCA = 30^{\circ}$$.
  14. $$\angle ABC = 180^{\circ} - 2 \times 30^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$.
  15. Тогда биссектриса BD делит угол 120° на два угла по 60°. \(\angle ABD = \angle DBC = 60^{\circ}\).
  16. Рассмотрим $$\triangle ABD$$. У него углы: $$\angle BAD = 30^{\circ}$$, $$\angle ABD = 60^{\circ}$$, $$\angle ADB = 90^{\circ}$$.
  17. В таком треугольнике катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$ (это AD), равен половине гипотенузы (AB). $$AD = \frac{1}{2} AB$$.
  18. Также, BD = AD * \(\sqrt{3}\).
  19. Нам известно, что BD = AC.
  20. AC = 2 * AD (так как D — середина AC в равнобедренном треугольнике, но D — точка на AC, а не середина, кроме случая, когда треугольник равносторонний).
  21. В равнобедренном треугольнике ABC, биссектриса угла при основании — это также медиана и высота. Значит, D является серединой AC, и BD перпендикулярна AC.
  22. Значит, $$\triangle ABD$$ — прямоугольный.
  23. Углы $$\triangle ABD$$: $$\alpha$$, $$90^{\circ}-\alpha$$, $$90^{\circ}$$.
  24. По условию $$BD = AC$$.
  25. В $$\triangle ABD$$: $$BD = AB \sin(\alpha)$$ и $$AD = AB \cos(\alpha)$$.
  26. $$AC = 2 AD = 2 AB \cos(\alpha)$$.
  27. $$BD = AC ⇒ AB \sin(\alpha) = 2 AB \cos(\alpha)$$.
  28. $$\\sin(\alpha) = 2 \cos(\alpha)$$.
  29. $$\\tan(\alpha) = 2$$.
  30. $$\alpha = \arctan(2) ≈ 63.43^{\circ}$$.
  31. Тогда $$\angle BAC = \angle BCA \approx 63.43^{\circ}$$.
  32. $$\angle ABC = 180^{\circ} - 2 \times 63.43^{\circ} = 180^{\circ} - 126.86^{\circ} = 53.14^{\circ}$$.
  33. Проверим условие: $$BD = AB \sin(63.43^{\circ}) ≈ AB 0.894$$.
  34. $$AC = 2 AD = 2 AB \cos(63.43^{\circ}) ≈ 2 AB 0.447 ≈ AB 0.894$$.
  35. Условие выполняется.

Ответ: Углы треугольника приблизительно составляют $$63.43^{\circ}$$, $$63.43^{\circ}$$ и $$53.14^{\circ}$$.