3. Длина наклонной равна 12 см, а угол между наклонной и перпендикуляром равен 60°. Найдите длину проекции и перпендикуляра.

Пусть длина наклонной равна l = 12 см, угол между наклонной и перпендикуляром равен \(\alpha = 60^\circ\). Обозначим длину перпендикуляра как h, а длину проекции как x.
В прямоугольном треугольнике, образованном наклонной, перпендикуляром и проекцией, перпендикуляр является прилежащим катетом к углу \(\alpha\) если угол рассматривать между наклонной и проекцией. Тогда угол между наклонной и перпендикуляром равен \(90 - \alpha\)
Используем тригонометрические функции:
\(cos(90-\alpha) = \frac{h}{l}\), значит \(sin(\alpha) = \frac{h}{l}\)
\(sin(60^\circ) = \frac{h}{12}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12}\)
\(h = 12 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)
\(h \approx 6 * 1.732 \approx 10.392 \)
Аналогично,
\(cos(60^\circ) = \frac{x}{12}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{x}{12}\)
\(x = 12 * \frac{1}{2} = 6\)
Ответ: Длина проекции равна 6 см, длина перпендикуляра равна \(6\sqrt{3}\) см или примерно 10.392 см.