3) Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 4 см, точка F — середина отрезка DC. Найти: а) расстояние между серединами отрезков A₁C и AF; б) угол между прямыми A₁C и AF; в) угол между прямыми BF и плоскостью AA₁D₁.

Введём координаты куба: \(A(0;0;0)\), \(B(4;0;0)\), \(C(4;4;0)\), \(D(0;4;0)\), а верхние вершины имеют третью координату 4. Тогда \(A_1(0;0;4)\), \(D_1(0;4;4)\), \(F\) — середина \(DC\), то есть \(F(2;4;0)\).

а) Середина \(A_1C\): \(P(2;2;2)\). Середина \(AF\): \(Q(1;2;0)\).

\(PQ=\sqrt{(2-1)^2+(2-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}\) см.

б) Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{A_1C}=(4;4;-4)\), \(\overrightarrow{AF}=(2;4;0)\).

Их скалярное произведение равно 24, длины — \(4\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{5}\). Поэтому для угла между прямыми \(\cos\varphi=\frac{|24|}{4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\), откуда \(\varphi=\arccos(\frac{\sqrt{15}}{5})\approx39.2^\circ\).

в) Плоскость \(AA_1D_1\) задаётся уравнением \(x=0\), её нормаль \(\vec n=(1;0;0)\). Направляющий вектор \(BF\): \(\overrightarrow{BF}=(-2;4;0)\), длина \(2\sqrt{5}\).

Угол \(\alpha\) между прямой и плоскостью удовлетворяет \(\sin\alpha=\frac{|\overrightarrow{BF}\cdot\vec n|}{|\overrightarrow{BF}||\vec n|}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac1{\sqrt{5}}\). Следовательно, \(\alpha=\arcsin(\frac1{\sqrt{5}})\approx26.6^\circ\).

Ответ: а) \(\sqrt{5}\) см; б) \(\arccos(\frac{\sqrt{15}}{5})\approx39.2^\circ\); в) \(\arcsin(\frac1{\sqrt{5}})\approx26.6^\circ\).