3. Доказать, что если m и n — четные числа, то 3m² + n² также четное число.

Так как \(m\) и \(n\) чётные, существуют целые числа \(a\) и \(b\), для которых \(m=2a\), \(n=2b\).

1. Подставим эти выражения: \(3m^2+n^2=3(2a)^2+(2b)^2\).
2. Возведём в квадрат и вынесем общий множитель: \(3m^2+n^2=12a^2+4b^2=2(6a^2+2b^2)\).
3. Поскольку \(6a^2+2b^2\) — целое число, выражение делится на 2.

Следовательно, \(3m^2+n^2\) — чётное число.