3) Доказать, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.

Пусть дан параллелограмм ABCD, все углы которого равны, а диагонали AC и BD перпендикулярны.

1. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°. Так как углы равны, каждый из них равен 90°. Следовательно, ABCD — прямоугольник.
2. Обозначим точку пересечения диагоналей через O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=OC\). Так как диагонали перпендикулярны, треугольник AOB прямоугольный.
3. В прямоугольнике диагонали равны, а поскольку они делятся пополам, \(AO=BO\). Значит, прямоугольный треугольник AOB равнобедренный, и его катеты равны: \(AB=AO\sqrt{2}\).
4. Аналогично, используя равенство половин диагоналей, получаем \(BC=BO\sqrt{2}\). Поскольку \(AO=BO\), имеем \(AB=BC\).

Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат.

Доказано: данный параллелограмм является квадратом.