3. Доказать тождество: 1) $3\cos2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos2\alpha$; 2) $\frac{\sin5\alpha-\sin3\alpha}{2\cos4\alpha}=\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Доказать тождество: 1) $3\cos2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos2\alpha$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha$, то
\[3\cos2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=3\cos2\alpha-\cos2\alpha=2\cos2\alpha.\]
Тождество доказано.
Применим формулу разности синусов:
\[\sin5\alpha-\sin3\alpha=2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2}=2\cos4\alpha\sin\alpha.\]
Следовательно, при $\cos4\alpha\ne0$,
\[\frac{\sin5\alpha-\sin3\alpha}{2\cos4\alpha}=\frac{2\cos4\alpha\sin\alpha}{2\cos4\alpha}=\sin\alpha.\]
Тождество доказано.

3. Доказать тождество: 1) \(3\cos2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos2\alpha\); 2) \(\frac{\sin5\alpha-\sin3\alpha}{2\cos4\alpha}=\sin\alpha\).